Малишев С. Є. Біфуркації та стійкість нелінійних коливань балочних конструкцій з тріщинами втоми

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню актуальної науково-практичної задачі, що пов'язана з аналізом біфуркацій та стійкості нелінійних коливань балок з дихаючими тріщинами втоми. Метою є розробка математичних моделей та чисельний аналіз нелінійних коливань балок з дихаючими тріщинами в умовах взаємодії нелінійностей різного характеру. Об’єкт дослідження - нелінійна динаміка балочних конструкцій з тріщинами втоми. Предмет дослідження - побудова математичних моделей для опису нелінійних коливань балок з тріщинами втоми та аналізу їх біфуркаційної поведінки. Дихання тріщин викликають зміни в жорсткості конструкції, що призводить до суттєвих нелінійних ефектів. Показано можливість переходу до хаосу коливань балок з двома тріщинами втоми на малих амплітудах коливань, внаслідок біфуркації подвоєння періоду. Розглянуто задачу про геометрично нелінійні коливання балки з тріщиною втоми. За допомогою варіаційних принципів Остроградського–Гамільтона та Ху–Вашизу отримано диференціальні рівняння коливань балки з тріщиною втоми. Досліджено нелінійні нормальні форми вільних коливань, їх стійкість та біфуркації. Проведено аналіз вимушених коливань балки з тріщиною втоми при геометрично нелінійному деформуванні, показано можливість виникнення замкнених петель на частотних відгуках та проаналізовано встановлені режими коливань в області біфуркації Неймарка–Сакера. Досліджено параметричні коливання балки з тріщиною втоми, де враховано ефекти нелінійної кривини та нелінійної інерції. Проаналізовано динаміку в області біфуркації Неймарка–Сакера та встановлено можливість переходу до хаотичних коливань балки з тріщиною втоми. Досілджено вплив лінійної дисипації на біфуркаційну поведінку балки з тріщиною втоми. Для проведення чисельних досліджень розроблено та вдосконалено чисельні методи продовження по параметру за допомогою методики автоматичного диференціювання. Запропоновано алгоритм розрахунку спектру показників Ляпунова з використанням дуальних чисел. У вступі надається обґрунтування актуальності обраної теми дослідження, вказано методи дослідження, висвітлено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, зазначено особистий внесок здобувача у дисертаційну роботу, надано коротку інформацію про апробацію матеріалів дисертації. Також показано відмінності від відомих раніше результатів. У першому розділі розглянуто теоретичні та практичні аспекти дослідження нелінійних коливань балок з тріщинами втоми. Освітлено сучасний стан проблеми дослідження, порівняно різноманітні моделі, які використовуються для опису нелінійних коливань балок з тріщинами втоми. У розділі 2 представлено чисельні методи, які були розроблені та вдосконалені під час виконання досліджень. Надано загальну інформацію про автоматичне диференціювання, та наведено приклади застосування дуальних чисел для розрахунку похідних. Запропоновано метод розрахунку матриці Якобі для двоточкових крайових задач, який дозволяє не виводити рівняння в варіаціях. Також пропонується метод розрахунку спектру показників Ляпунова для систем звичайних диференціальних рівнянь з використанням автоматичного диференціювання. Розділ 3 присвячено побудові математичних моделей коливань балок з розкритими тріщинами втоми за допомогою варіаційних принципів. За допомогою принципу Остроградського–Гамільтона розроблено модель коливань балки з тріщиною втоми при геометрично нелінійному деформуванні. Для врахування тріщини втоми використано модель з δ-функцією. За допомогою принципу Ху–Вашизу отримано диференціальні рівняння геометрично нелінійних коливань балки з тріщиною втоми. Також за допомогою варіаційного принципу Ху–Вашизу була розроблена модель параметричних коливань балки з тріщиною втоми. Було враховано ефекти нелінійної кривини та нерозтяжності серединної лінії балки. Для врахування останнього використано метод множників Лагранжа. У розділі 4 проведено чисельний аналіз коливань балок з тріщинами втоми. Для врахування ефекту дихання тріщин використано контактний параметр. Проведено дослідження вимушених коливань консольної балки з однією та двома тріщинами втоми при малих амплітудах коливань. Показано виникнення ефекту багатозначності та хаосу в коливаннях консольної балки з дихаючими тріщинами втоми. Проведено аналіз нелінійних нормальних форм вільних коливань балки з тріщиною втоми при геометрично нелінійному деформуванні. Досліджено синфазні та антифазні форми. Показано можливість виникнення замкнених петель на частотних відгуках балки з тріщиною втоми, та проаналізовано встановлені режими коливань в області біфуркації Неймарка–Сакера. Розглянуто параметричні коливання балки з тріщиною втоми, де враховано велику кривину та нелінійну інерцію. Проаналізовано вплив дисипації на параметричні коливання балки з тріщиною втоми. Показано можливість переходу до хаотичних коливань внаслідок біфуркації Неймарка–Сакера.