Силенко І. В. Марковська Ідеальна Рівновага у грі видобутку ресурсів зі степеневими перевагами агентів. - Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 - Прикладна математика. – НаУКМА, Київ, 2023.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню виду стохастичної гри з ненульовою сумою, що є відомою в науковій літературі з теорії ігор як гра видобутку ресурсів або гра накопичення капіталу. Теоретичною особливістю цієї гри є незліченний простір станів та незліченні простори рішень її учасників. Маючи практичне значення, концепція гри моделює економічну задачу зі стратегічної взаємодії, що інтерпретується таким чином. Кілька агентів мають у спільній власності деякий відновлюваний актив (капітал, ресурс), що здатен генерувати певну вигоду від його використання. Протягом послідовності з дискретних моментів часу всі гравці одночасно приймають рішення щодо власної поточної кількості до споживання з цього ресурсу, згідно з якою визначається їхній миттєвий прибуток через особисту сталу функцію корисності. Кількість доступного для використання ресурсу в кожен момент часу з'ясовується відповідно до відомого стохастичного закону переходу, що залежить від попередньої кількості ресурсу та обсягів видобутку з нього. Загальний виграш кожного учасника гри обчислюється як дисконтована сума всіх його миттєвих прибутків, очікувану величину якої кожен гравець прагне максимізувати обираючи власну стратегію на початку гри. Основною метою дослідження є доповнити попередні результати з існування в цій грі (Стаціонарної) Марковської Ідеальної Рівноваги, яка вважається концепцією розв'язку в подібних некооперативних іграх. Проблематика її існування є відкритою проблемою в загальній постановці задачі гри видобутку ресурсів, проте становить науковий та практичний інтерес, і тому широко вивчається.
У дисертації розглядається модель гри видобутку ресурсів з недослідженого досі класу, для якого характерна довільна кількість учасників, необмежений простір станів та необмежені функції корисності гравців, а також закон переходу між станами у вигляді стохастичного ядра, залежного від спільної інвестиції агентів. Запропонована модель будується набором особливих припущень стосовно переваг гравців та стохастичного закону переходу між станами, які мають широке застосування в економічному моделюванні. По-перше, припускається, що всі гравці володіють ізоеластичними функціями корисності (або CRRA згідно з економічною термінологією) у вигляді степеневих та строго опуклих вгору. По-друге, кожна наступна кількість доступного ресурсу (або стан гри) є лінійним перетворенням залишку від споживання агентів (тобто їхньої спільної інвестиції) з мультиплікативним випадковим збуренням, однаково розподіленим на кожному етапі гри. В економічному моделюванні та фінансовій літературі такий стохастичний процес є поширеним під назвою геометричне випадкове блукання.
Запропоновану модель розглянуто як у симетричному, так і несиметричному форматі гри. У симетричній моделі методом зворотної індукції побудовано єдину Марковську Ідеальну Рівновагу в ситуації коли горизонт гри є скінченним. Завдяки монотонній збіжності положень рівноваг та відповідних їм цінових функцій агентів при спрямуванні значення горизонту до нескінченності, встановлено існування симетричної Стаціонарної Марковської Ідеальної Рівноваги в чистих стратегіях для гри з необмеженим горизонтом. Доведено, що отримане положення рівноваги не є оптимальним за Парето, та знайдено формулу для визначення соціально-оптимального профілю стратегій. Також підтверджено надмірне споживання ресурсу гравцями, що перебувають у ситуації рівноваги, порівняно з їхньою соціально-оптимальною поведінкою. Згідно з цим результатом, симетричній моделі гри властива «трагедія спільного поля». Для несиметричної моделі гри з нескінченним горизонтом іншим способом доведено існування Стаціонарної Марковської Ідеальної Рівноваги в чистих стратегіях, й додатково висвітлено її єдиність серед профілів лінійних стратегій. Причому метод доведення, будучи відмінним від випадку симетричності в моделі, так само забезпечує алгоритм побудови положення рівноваги, що особливо доречно для використання результатів на практиці.
Ключові слова: стохастичні ігри з ненульовою сумою, видобуток ресурсів, накопичення капіталу, стаціонарна рівновага за Нешем, Марковська ідеальна рівновага, степенева функція корисності, геометричне випадкове блукання, дискретний час, дисконтований виграш, кооперативна теорія ігор.
